從隨機(jī)變量的角度,資產(chǎn)組合1隨機(jī)優(yōu)勢于資產(chǎn)組合2可表示為.其中ξ是一非正隨機(jī)變量,除非ξ= 0,否則隨機(jī)優(yōu)勢是嚴(yán)格的,符號縣表示等式兩邊隨機(jī)變量的“分布相等".可以看到,與“優(yōu)勢"概念相比，“隨機(jī)優(yōu)勢"的要求更弱.因為如果云優(yōu)勢于z,則必可推出之隨機(jī)優(yōu)勢于z2.隨機(jī)優(yōu)勢只要求之和之。+ξ的分布相同,而優(yōu)勢則要求云和2+ξ作為隨機(jī)變量處處相等.

 

   優(yōu)勢和隨機(jī)優(yōu)勢的一個重要區(qū)別是前者與狀態(tài)的概率不相.關(guān),而對于后者,狀態(tài)概率是關(guān)鍵性的.”下面的例子可以說明優(yōu)勢與隨機(jī)優(yōu)勢的兩個區(qū)別.考慮收益率分別是(1, 3)和(1, 2)的兩種資產(chǎn),如果P(32= 1)≥P(之= 1)(因而P(2:=2)≤P(之:=3))，那么第一個資產(chǎn)隨機(jī)優(yōu)勢于第二個資產(chǎn).但只有當(dāng)名=3和z:=2在同一狀態(tài)發(fā)生,即資產(chǎn)系統(tǒng)為時,第一個資產(chǎn)才優(yōu)勢于第二個資產(chǎn),而此時關(guān)于隨機(jī)優(yōu)勢的概率限制也成立,所以也是隨機(jī)優(yōu)勢.如果金融系統(tǒng)是Z=, 那么不存在優(yōu)勢資產(chǎn),但只要2」PI≥0.5,就存在隨機(jī)優(yōu)勢資產(chǎn).注意,如果兩個投資者對狀態(tài)概率有不同的預(yù)期,只要一位認(rèn)為P < 0.5,那么他們就會對是否有隨機(jī)優(yōu)勢資產(chǎn)產(chǎn)生不同的看法. 如果投資者對財富是多多益善的,且有狀態(tài)獨立的效用函數(shù),那么他就不會選擇持有處于隨機(jī)劣勢的資產(chǎn)組合.這個命題的證明很容易,因為2。和之十ξ同分布,所以Eu(元:)= Eu(2+)< Eu(云).

 

   上面的不等式由ξ的非正性和u的嚴(yán)格單調(diào)性以及Eu(●)的.定義得到.這時并沒有排除市場上隨機(jī)劣勢資產(chǎn)組合的存在性,它只是表明沒有投資者會把所有的財富投資于隨機(jī)劣勢資產(chǎn)組合,他們可能會把隨機(jī)劣勢的資產(chǎn)作為資產(chǎn)組合中的- - 部分而持有,如下例所示.考慮金融系統(tǒng)Z=;，設(shè)兩種狀態(tài)出現(xiàn)的可能性相同，資產(chǎn)1隨機(jī)優(yōu)勢于資產(chǎn)2(ξ是等可能地取值為一1或0的隨機(jī)變量)(注意隨機(jī)變量動和元+ξ只需有同樣的分布,不必每-狀態(tài)都取同樣的值).但每種資產(chǎn)都是有用的，例如一個具有對數(shù)效用函數(shù)型的投資者會把他的財富中的一投資于資產(chǎn)2.設(shè)w表示投資于資產(chǎn)1的比例，則顯然當(dāng)w=之時,Eln(劃)達(dá)到最大,這樣,他的資產(chǎn)組合的

 

   收益率是(2.5, 1.25).而且這是最優(yōu)資產(chǎn)組合,因此資產(chǎn)組合1和資產(chǎn)組合2都會在金融市場上存在. 總之,劣勢資產(chǎn)或劣勢資產(chǎn)組合不能存在,否則投資者可以創(chuàng)造無限制的套利利潤,隨機(jī)劣勢資產(chǎn)或劣勢資產(chǎn)組合可能存在,盡管投資者不會只持有這一種資產(chǎn)