Black一 Scholes模型與二叉樹模型的演變、進一步推廣在BlackScholes模型提出以后,許多學者對該模型的進一步推廣作出了重大貢獻.Black一Scholes模型的基本形式只適用于無股利支付股票的歐式期權,顯然實際交易的期權的標的物不會受到這些約束.Black(1975年)提出,如果能夠假定整個期權持有期的股利可知,則股利支付股票的歐式期權很容易被定價,這只要從股價中減去整個期權持有期的股利現(xiàn)值,并且把這個調(diào)整后的期權價格代入Black一 Scholes公式便可. Merton( 1973年)采用將股利表示為連續(xù)復利的方法,給出了Black Scholes公式的另外一種形式. Merton的連續(xù)復利模型為外匯期權定價提供了一個基本構架.用外幣的利率替換連續(xù)復利,即期匯率替代標的資產(chǎn)的價格,而波動率就是匯率的波動率,這樣就得到了外幣的歐式期權定價公式.適用于外幣期權的Black Scholes模型通常稱為Garman Kohlhagen模型.
William Margrabe( 1978年)提出了一個模型可以用于對兩種資產(chǎn)按約定價格交換的權利進行定價.盡管這種被稱為交換期權的產(chǎn)品在期權市場上并沒有出現(xiàn)過,但由于它是資產(chǎn)、現(xiàn)金與另一種資產(chǎn)的相互交換期權,因此被認為是Black一Scholes模型的廣義形式. Robert Geske(1979年)又發(fā)展了一種以期權定價期權的模型，換言之,不僅衍生產(chǎn)品本身是一種期權,標的資產(chǎn)也不是一般意義下的資產(chǎn)而是期權,這種被Geske定義為復式期權的衍生產(chǎn)品在期權市場上也沒有出現(xiàn)過.但是就像Black和Scholes在他們的最初論文中所討論的那樣,普通股本身也是一種由公司債權人所發(fā)行的、以公司資產(chǎn)為標的資產(chǎn)的期權，股東是期權的買入者,因此任何一個有負債公司的股票期權就可以理解為復式期權.更為重要的是,復式期權的計算公式為其他期權的定價提供了可參.考的途徑.例如,美式看漲期權的定價是一個特別難解決的問題,股票除息前支付股利的美式看漲期權有可能被提前執(zhí)行. Roll(1977年)使用Geske模型得出了美式看漲期權的封閉解.此后,Geske(1979年)和Whaley(1981年)對Roll 理論做了進一步的改進,使該公式更趨完善,這一模型就被稱為Roll一 Geske Whaley模型.另外一個例子是美式看跌期權,因為在任何時候美式看跌期權
都可能被提前執(zhí)行,這種期權也難以找到封閉解.Geske和John一son(1984年)發(fā)現(xiàn),通過一系列復式期權可以求出它的封閉解,但因為它含有一個無窮數(shù)項,因此計算較復雜.
Merton(1976年)提出了跳躍過程模型, Black Scholes模型的研究都是建立在股價波動平穩(wěn)基礎之上的,但股票價格起伏不定,假如不能夠進行套期保值的話,這樣波動不定的風險非常大。Merton認為這些波動的風險可被視為分散化的風險,因此我們能夠忽略它的風險貼水,從而得到一個跳躍波動率的期權定價模型.Jhon Cox(1975年)的定常彈性方差模型(Constant Elasticity ofVariance Model)給出了當波動率隨股價的下跌而增加時怎樣定價股票權.雖然目前這一模型使用不多,但它的深遠意義就在于第一次嘗試著在期權定價模型中體現(xiàn)出波動率的變化1982年期權定價的研究取得了新的進展. Stulz設計了一種根據(jù)兩種風險資產(chǎn)的較大或較小值確定的期權,這種期權的損益由期權到期時兩種標的資產(chǎn)價值的較大者或者較小者決定,到期以后就像普通期權一樣進行標的資產(chǎn)的買賣,并對期權進行清算.這種期權在理論上提出了10年以后才在市場上出現(xiàn).因為一些投資經(jīng)理更愿意對兩個市場中表現(xiàn)較好的市場指數(shù)的看漲期權進行投資,而不是同時購買這兩種指數(shù)的期權或直接在兩個市場上進行投資,基于兩種資產(chǎn)的期權就可以滿足市場的需求。Black Scholes模型的另外一個擴展是考慮違約情況.雖然期權交易的購買者沒有必要為違約問題而擔心,但場外交易市場存在這個問題. Johnson和Stulz(1987年)給出了在到期日前可能被違約的期權定價公式.Rich(1996年)的研究表明,BlackScholes模型經(jīng)適當調(diào)整以后可以用來對發(fā)行人由于破產(chǎn)問題導致違約的期權定價問題。
Black Scholes模型的進一步擴 展與對交易成本和市場完備性的研究也是分不開的.期權定價理論假定交易能夠連續(xù)發(fā)生,該假設要求沒有交易成本.但顯而易見,實際情況總是違背這個假設條件的.如果帶有任何交易成本，該連續(xù)交易都會導致無限的費用.而若交易不連續(xù)發(fā)生,則連續(xù)復制不能實現(xiàn),期權定價公式也就不能得到.同時在不完備市場下,比如限制賣空、存貸利率不同衍生產(chǎn)品的定價也肯定不同.這方面的研究文獻有Lelard(1985年), Musiela和Rutkowski(1997 年).這些領域的研究都極有意義,它使理論模型與含有不連續(xù)交易、交易成本、市場不完備的真
實情況更趨近一致.
