英國(guó)植物學(xué)家Brown(1827年)在觀察中發(fā)現(xiàn)，懸浮在液體中的花粉小顆粒的運(yùn)動(dòng)是非常不規(guī)則的,這種運(yùn)動(dòng)后來(lái)稱為Brown運(yùn)動(dòng).自Brown運(yùn)動(dòng)發(fā)現(xiàn)以來(lái),這個(gè)過(guò)程在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、量子力學(xué)、生物學(xué)以及經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域得到了大量研究.Einstein(1905年)應(yīng)用物理原理證明了Brown運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程. Wiener(1918年)在他的博士論文及以后的一系列論文中得到了Brown運(yùn)動(dòng)精確的數(shù)學(xué)公式。

 

   設(shè)X(l)表示一個(gè)作Brown運(yùn)動(dòng)的粒子在時(shí)刻l的位置. Xo為粒子在時(shí)刻to的位置,即X(to)= Xo, f(X, t| Xo)表示在給定X(to)= X。的條件下X(t十to)的條件概率密度,這也是在給定初始條件下，Brown粒子擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的反映.我們?cè)偌僭O(shè)所給的.轉(zhuǎn)移概率是平穩(wěn)的,即f(X, t| Xo)不依賴于起始時(shí)刻1,因?yàn)閒(X, l | Xo) 是X的密度函數(shù),故

 

f(X,t| Xo)≥0，f(X,t| Xo)dX= 1.

 

   當(dāng)間隔[ro,to+t]充分小時(shí),由于Brown粒子的運(yùn)動(dòng)速度總是有限的，X(t+to)與X非常接近,即limf(X, t| Xo)=0, X≠Xo.Einstein證明了f(X, t|X,)必定滿足偏分方程:

 

   其中D是常數(shù),稱為擴(kuò)散系數(shù).選取D= 1/2,我們可以驗(yàn)證滿足上述方程的解為

 

   即X的條件分布正好服從均值為Xo.標(biāo)準(zhǔn)差為F的正態(tài)分布。