下面我們研究Brown運(yùn)動(dòng)的軌道(X(l)在[0, t]上的一個(gè)實(shí)現(xiàn)過(guò)程)性質(zhì)和聯(lián)合分布等概率性質(zhì).首先Brown運(yùn)動(dòng)的幾乎每條樣本軌道都是連續(xù)的.但X(t)的樣本軌道不是通常我們見到的函數(shù),而是一個(gè)幾乎處處不可導(dǎo)的函數(shù),其物理意義是對(duì)象在每一瞬間受到凈碰撞的方向都是任意的.

   下面給出Brown運(yùn)動(dòng)的一些概率特性.

   定理在給定現(xiàn)在狀態(tài) X(s)的條件下,過(guò)去X(u) (0≤v<s)與將來(lái)X(s+t)(t> 0) 獨(dú)立.

   證明

P(X(s+t)≤a|X(s)=x, X(v)=x, 0≤v<s)

=P(X(s+t)- X(s)≤a-x|X(s)=x, X(u)=x, 0≤r<s)

= P(X(s+t)- X(s)≤a-x|X(s)- X(u)=x-x)

= P(X(s+t)- X(s)≤a-x)= P(X(s+t)≤a|X(s)=x).證畢.

 

   由Brown運(yùn)動(dòng)的定義知道,當(dāng)X(0)= 0時(shí),X(t)的密度函數(shù)可寫成f,(x)=-==e-*/2.任給n個(gè)時(shí)刻0<t<t:<..<t.,√2πt記....(... ..工)為n個(gè)時(shí)刻的位置X(4), .. X(1,)的聯(lián)合分布密度函數(shù).利用Brown運(yùn)動(dòng)的平移不變性,我們可以得到Brown運(yùn)動(dòng)的聯(lián)合分布密度函數(shù).f..-. (x1，.. x,)的性質(zhì).

 

   定理f.-. (工，...的)= f,(x)f,-,(x:-x). .... .f.,-.(x,-x,-).假定給定X(T)= B, X(0)=工o，求X(:)的條件分布(其中s< T),則X(s)的條件密度函數(shù)是

 

   即E[X(s)1 X(T)= B]= Bs/T,var[X(s) I X(T) = B]= s(T- s)/T.不難發(fā)現(xiàn),約定X(T)= B時(shí)X(s)的條件方差(s< T)不依賴于B的具體位置.若令s/T= a, 0<a< 1,則給定X(T)時(shí)X(s)的條件分布是正態(tài)的，均值為aX(T),方差為a(1-a)T.定義隨機(jī)過(guò)程 {X(t), t≥0|若對(duì)一切4, ... :X(1), .，X(t,)}為多元正態(tài)分布,則稱為Gauss過(guò)程.Brown運(yùn)動(dòng)也是一個(gè)Gauss過(guò)程,其均值和協(xié)方差函數(shù)如下:當(dāng)s<t時(shí)，EX(!) = 0,cov(X(s), X(t)) = cov(X(s), X(s) + X(1)- X(s))

= cov(X(s),X(s)) + cov(X(s),X()- X(s))

= cov(X(s), X(s)) = s;

當(dāng)t< s時(shí)，X(s)和X(t)的協(xié)方差為t,故cov(X(s), X(t))= min(s, t).

   根據(jù)前面給定X(T)=B時(shí)Brown運(yùn)動(dòng)的條件分布的性質(zhì),我們來(lái)研究由Brown運(yùn)動(dòng)X(l)得到的特殊的過(guò)程.它在兩個(gè)時(shí)刻被固定: X(0) = 0，X(1) = 0,即它是一類條件隨機(jī)過(guò)程{X(t), 0≤t≤1| X(1)=0}.這類Gauss過(guò)程稱為Brown橋，我們來(lái)計(jì)算它的協(xié)方差函數(shù).對(duì)于s< 1,根據(jù)前面的結(jié)果,有E[X(s) | X(1) =0]= 0;對(duì)于s<t< 1,有

cov[X(s), X(t) | X(1) = 0]= E[X(s)X(t)| X(1)= 0]

= E[E[X(s)X(t) | X(t)= r, X(1) =0]| X(1) = 0]

= E[X(t)E[X(s) | X(t)]| X(1) =0]

= E[x(t) -X(t) | X(1)=0]=二E[X()1 X(1)=0]

= -t(1-t)= s(1-t),

   同時(shí)var[X(s) I X(1)=0]= s(1-s).因此, Brown橋可定義為均值為0,協(xié)方差函數(shù)為s(1- l) (s≤1)的Gauss過(guò)程.不難看出Brown橋下的方差var[X(s) | X(1) = 0]小于Brown運(yùn)動(dòng)的方差var[X(s)]=s.例如，債券在持有期到了以后其價(jià)格是固定的，因此由Brown橋運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)可知債券的風(fēng)險(xiǎn)時(shí)時(shí)小于股票的風(fēng)險(xiǎn).同時(shí),債券的風(fēng)險(xiǎn)與剩余時(shí)間(1-s)正相關(guān).這與債券風(fēng)險(xiǎn)理論中久期的性質(zhì)非常相似.

    定理若{X(1), t≥0}是Brown運(yùn)動(dòng),則當(dāng)Z(l) = X(t)-tX(1)時(shí)，{Z(t), 0≤l≤1}是Brown橋過(guò)程.證明{X(t), t≥0|顯然是Gauss過(guò)程, Z(1) = 0,即{Z(t)}的末端也退化為常數(shù).要驗(yàn)證的是:E[Z(t)]= 0及當(dāng)s≤t時(shí),cov[Z(s), Z(t)]= s(1-t).下面進(jìn)行計(jì)算.

E[Z(t)] = EX(t)- tEX(1) = 0,

cov[Z(s), Z(t)]= cov[X(s)-sX(1), X(l)- tX(1)]

= cov[X(s), X(t)]- tcov[X(s), X(1)]

- scov[X(1), X(t)]+ stcov[X(1), X(1)] .

= s-st-st十st = s(1-t),證畢.